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广义黎曼猜想的黎曼ζ 函数

发布日期:2019-08-15 06:30   来源:未知   阅读:

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  黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文,就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想(Riemanns Hypoth-esis)。这猜想提出已有一百多年了,许多有名的数学家曾尝试去证明,就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为到达它的顶峰非常困难,目前已有人登上这世界高峰,可是却没有人能证明这猜想!那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢?

  黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名,其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者, 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解,为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献,就用他的名字命名了这一函数。

  那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢?黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) 1) 在复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓, 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分,六开彩开奖现场直播 开奖结果, 解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为:

  这里我们采用的是历史文献中的记号, 式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发, 沿实轴上方积分至原点附近, 环绕原点积分至实轴下方, 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分; 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广, 对于正整数 s1: Γ(s)=(s-1)!。 可以证明, 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是黎曼ζ 函数的完整定义。运用上面的积分表达式可以证明,黎曼ζ 函数满足以下代数关系式:

  ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)从这个关系式中不难发现,黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单, 被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外,黎曼ζ 函数还有许多其它零点, 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂, 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。